FROYLÁN ALFARO
Comúnmente hablamos de números como si fueran cosas. Contamos, sumamos, restamos y enseñamos a los niños que los números “existen”. Pero ¿qué tipo de existencia es ésa? Esta pregunta ha inquietado durante décadas a matemáticos y filósofos, por ejemplo Benacerraf en What numbers could not be aborda en específico esta pregunta.
En este sentido, una idea que atrajo a muchos pensadores fue la de que los números son conjuntos. Un conjunto puede entenderse, de manera intuitiva, como una colección de objetos. Por ejemplo, podemos hablar del conjunto de los árboles que dan fruta: ese conjunto sería simplemente la colección formada por todos los árboles frutales. Aunque definir con total precisión qué es un conjunto es una cuestión técnica, en la práctica no es difícil determinar si dos conjuntos tienen los mismos elementos o si algo pertenece, o no, a uno de ellos. Si preguntamos, por ejemplo, si un borrego pertenece al conjunto de los animales carnívoros, podemos responder con facilidad que no. La idea, entonces, era que para cada número habría un conjunto específico que sería idéntico a él. Así, el número 5 no sólo estaría representado por cierto conjunto, sino que literalmente sería ese conjunto. Esto permitiría decir que los números son objetos bien definidos dentro de la teoría de conjuntos.
Para ilustrar el problema, imaginemos dos tradiciones educativas distintas. En una, una niña llamada Alicia aprende que los números naturales se construyen como conjuntos de todos los números anteriores, llamemos a esto sistema A. En la otra, un niño llamado Benito aprende que cada número es un conjunto que contiene únicamente al número anterior, llamemos a esto sistema B. Ambos reciben una educación perfectamente rigurosa y coherente, basada en axiomas matemáticos correctos, y ambos pueden hacer aritmética sin errores.
Sin embargo, hay que notar que en el sistema A, cada número contiene todos los anteriores como elementos. En el sistema B, cada número contiene solo el anterior. Ambos sistemas satisfacen exactamente las mismas reglas aritméticas: suma, multiplicación, sucesor, etc. Desde el punto de vista matemático estructural, funcionan igual. Todo cálculo correcto en uno lo es también en el otro.
Aquí está el punto, pues aunque funcionan igual, no son el mismo conjunto de objetos. No son idénticos. Y la identidad importa, porque decir que los números son conjuntos implica que debe existir una respuesta única a la pregunta de ¿qué conjunto es el número 2? Y decir que algo es idéntico a otra cosa no es lo mismo que decir que se comporta igual. Por ejemplo, dos relojes pueden marcar la misma hora sin ser el mismo reloj. Del mismo modo, dos sistemas pueden reproducir toda la aritmética y aun así estar hechos de objetos distintos.
En nuestro caso, en el sistema A, el número 2 contiene dos elementos. En el sistema B, el número 2 contiene uno. Por lo tanto, el 2 de A y el 2 de B no son el mismo objeto, es decir A es diferente de B. Y si no son el mismo objeto, entonces no pueden ser idénticos. En otras palabras, no basta con que una construcción reproduzca correctamente la aritmética, ya que para sostener que los números son conjuntos, habría que demostrar, o al menos mostrar, que hay un único conjunto correcto para cada número. Pero vemos que existen varios candidatos igualmente válidos.
Podría pensarse, a partir de lo anterior, que no hay problema, que sólo podríamos elegir uno de los sistemas y decir que ése es el verdadero. Sin embargo, ésa no es ni siquiera una opción porque el objetivo original del proyecto era reducir los números a conjuntos, es decir, explicar qué son los números en términos de algo más fundamental. Pero, si tenemos varias reducciones posibles y ninguna razón independiente para preferir una, entonces la reducción no explica nada. Sería como intentar explicar qué es el agua diciendo que es “la sustancia que está en este vaso”, pero señalando dos vasos con distinto contenido líquido. Reitero, que no debemos de olvidar que el proyecto buscaba identificar los números con objetos bien definidos llamados conjuntos. Pero si hay muchas opciones igualmente buenas y ninguna privilegiada, entonces la identificación falla. En pocas palabras: no hemos descubierto qué son los números, sólo hemos encontrado distintas formas de representarlos.
Entonces, parece que lo que sí encontramos, siguiendo a Benacerraf, es que los números probablemente no son objetos concretos ni conjuntos particulares. Si lo fueran, debería haber una respuesta única a cuál objeto es el número 2, el 3 o el 5. Pero, como no la hay, parece más razonable pensar que los números no son cosas, sino posiciones dentro de una estructura. Es como decir que alguien ocupa el lugar 7 en una fila, eso no significa que el número 7 sea la persona; significa que esa persona está después del sexto lugar y antes del octavo. El número no es el ocupante, sino la posición dentro de un sistema ordenado. De manera similar, los números no serían objetos individuales, sino lugares estructurales definidos por relaciones como mayor que, menor que, sucesor, etc. Esto, por supuesto, sigue en debate. Pero, para usted, querido lector, ¿qué son los números?
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