FROYLÁN ALFARO
Pocas frases suenan tan indiscutibles como “dos más dos es siempre igual a cuatro”. En filosofía suele presentarse, o al menos yo me he topado con ella varias veces, como el ejemplo de una verdad absoluta: algo que no depende del mundo, de la experiencia ni de la opinión. Pero ¿es realmente así?
Para empezar, conviene aclarar qué significa el signo “+”. En la vida cotidiana, sumar parece algo muy simple: juntar cosas. Dos manzanas más dos manzanas hacen cuatro manzanas. Pero en matemáticas, “sumar” no es simplemente juntar, sino aplicar una regla definida dentro de un sistema.
Piense, querido lector, en un juego de mesa. Las piezas se mueven según reglas específicas. Si cambiamos las reglas, el juego cambia. Algo parecido ocurre en matemáticas, pues los símbolos “2”, “+” y “4” no tienen significado por sí mismos, sino dentro de un conjunto de reglas que los matemáticos acuerdan o construyen.
En el sistema más familiar, el de los números naturales (1, 2, 3, 4…), con la suma habitual, efectivamente 2 + 2 = 4. Pero esto no es una verdad flotando en el vacío, sino una consecuencia de cómo hemos definido los números y la operación de sumar. Es como decir, “si jugamos ajedrez con las reglas estándar, el alfil se mueve en diagonal”. Es cierto, pero porque así lo hemos establecido.
Ahora bien, ¿qué ocurre si cambiamos las reglas?
Un ejemplo muy cercano es el reloj. Para entenderlo, quizá le convenga recordar cómo le enseñaron a sumar: había una recta con números y, si usted quería sumar 3 + 4, solo tenía que posicionarse en el 3 y después moverse cuatro lugares hacia delante en la recta, llegando al 7. Regresando al reloj, trate de seguir esas mismas reglas de “suma” y podrá confirmar que:
9 + 4 = 1
10 + 5 = 3
Esto no es un error, sino otra forma perfectamente coherente de sumar, conocida como aritmética modular. En un reloj de 12 horas, los números “se reinician” al llegar a 12. Matemáticamente, decimos que trabajamos “módulo 12”.
Si cambiamos aún más el sistema, el resultado puede ser todavía más sorprendente. En la aritmética módulo 2, donde sólo existen los números 0 y 1, ocurre que:
1 + 1 = 0
¿Por qué? No lo desarrollaré en esta columna, pero si reflexiona en lo que hicimos con el reloj unas líneas arriba y en cómo le enseñaron a sumar en la recta numérica, podrá intuir las bases de la aritmética modular; entonces, 1 + 1 = 0 empezará a parecerle algo bastante razonable.
Este tipo de ejemplos nos sirve para notar que las verdades matemáticas dependen de las reglas del sistema en el que trabajamos. Sin embargo, esas reglas no suelen ser tan simples como las de un juego, aunque ésa es otra historia.
Ahora demos un paso más. No sólo la operación “+” puede cambiar; también puede hacerlo el significado de “2”. En matemáticas más avanzadas, los símbolos no representan necesariamente números en el sentido cotidiano, pueden ser matrices, funciones o elementos abstractos dentro de una estructura.
Por ejemplo, en ciertas estructuras llamadas grupos, que son objetos estudiados en el álgebra, existen elementos que, al combinarse consigo mismos, dan como resultado el elemento neutro (algo parecido al cero que conocemos). En ese contexto, una expresión análoga a “2 + 2” podría comportarse como “0”.
Esto puede parecer extraño, pero piense en una analogía: la palabra “banco” no significa lo mismo en “banco de madera” que en “banco financiero”. El símbolo es el mismo, pero su significado depende del contexto. En matemáticas ocurre algo similar, sólo que con una precisión extrema.
Entonces, cuando alguien afirma que “2 + 2 = 4 es una verdad universal”, conviene preguntar, ¿universal en qué sentido? Porque si universal significa que “es verdadera en cualquier sistema”, entonces eso es falso. Pero si lo que queremos decir es que “es verdadera dentro del sistema usual de los números naturales con la suma estándar”, entonces sí, absolutamente.
Ahora bien, ¿deberíamos desconfiar de “2 + 2 = 4”? Por supuesto que no. En casi todos los contextos prácticos como contar dinero, contar manzanas o construir edificios esa igualdad funciona perfectamente, es estable, fiable y extraordinariamente útil. Sólo no hay que olvidar que la certeza matemática no es independiente de todo contexto, sino que descansa sobre axiomas, definiciones y reglas previamente aceptadas. Son como un lenguaje extremadamente preciso para describir estructuras. Y, como cualquier lenguaje, su significado depende de cómo se use.
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